Чисельні методи розв’язання трансцендентних рівнянь: дослідження та програмування

Abstract

В дослідженнях технічного, технологічного, економічного напрямків часто доводиться створювати і аналізувати математичні моделі реальних явищ та процесів. Наукові задачі легкої промисловості не становлять тут винятку. Різноманітні питання прикладної механіки, теорії машин і механізмів легкої промисловості, хімії волокон та полімерів, матеріалознавства, економіки галузей, побудови розкрійних схем, організації технологічних процесів та прогнозування характеристик їх вихідних продуктів — далеко не повний перелік тих областей досліджень, які потребують якісного математичного моделювання для одержання вагомих і надійних результатів. Важливу роль в історії математики, в розвитку її ідей і методів зіграли рівняння. Вони знаходять найширше розповсюдження при вирішенні теоретичних і прикладних завдань САПР устаткування і технологічних процесів легкої і текстильної промисловості. Великі труднощі виникають при розв’язанні алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, у яких визначити явні вирази для коренів не представляється можливим. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, які відомі тільки приблизно, і, відповідно, сама задача про точне визначення коренів рівняння втрачає зміст.Тому важливого значення набувають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки степеня їх точності. В роботі проаналізовано і порівняно два методи розв’язання трансцендентних рівнянь – метод половинного ділення (дихотомії) та метод хорд. Наведено результати програмного озв’язання на прикладах: графічне відділення та аналітичне уточнення кореня. Розвязання таких рівнянь є важливим, оскільки до них зводиться велика кількість реальних задач із різних областей знань: економіка, системи управління, машинне навчання, обробка зображень, розв’язання задач оптимізації, у різних галузях техніки – там, де рівняння описують складні системи. Таким чином, у науковому моделюванні часто використовуються складні математичні моделі, які не мають аналітичного рішення. Чисельні методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь є незамінними інструментами в математиці, науці, інженерії та різних інших сферах.